0的阶乘为什么等于1(0的阶乘为什么等于1？)

题图来自Unsplash，基于CC0协议

本文目录

正文

1、0的阶乘为什么等于1？

0！＝1.

由于以前没有把阶乘拓宽，高中数学书上只是作了硬性的规定。

其实，拓宽到负整数阶乘以后，自然而然的就解释了0的阶乘等于1.

就是：

因为(-1)！=-1*-2*-3*-4*-5*...

0*(-1)！＝1.

所以0！＝1.

详见《张氏数演奕》之《张氏阶乘数》

2、数学中1的阶乘（1!）等于1，为啥0的阶乘还等于1，有什么方法可以证明？

阶乘（factorial）是由法国数学家 Christian Kramp 于 1808 提出的，最早定义如下：

正整数 n 的阶乘是所有小于及等于 n 的正整数的积，记为，

n! = n×(n-1)×...×2×1

由此可见，原始的 阶乘 并不包括 0!，后来随着 数学的发展，产生了 对于 0! 的需求，例如：

组合数定义： C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，当 m = 0 或 n 时 C_n^0 = C_n^n = 1/0!；

泰勒公式：f(x) = f(a)/0! + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x - a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n! + ...；

于是就需要在原来的定义中引入 0!。

（对原始阶乘定义进行扩展）

从原来的定义中抽出两个规则：

1! = 1

根据规则 2，有：

1! = 1 × (1-1)! = 1 × 0!

再根据规则 1，有：

1 = 1 × 0!

进而得到：

0! = 1

于是将上面的规则改为：

0! = 1

用这个规则 替代 原来的定义 作为新的 阶乘定义。

（从另外一个角度证明）

定义 Γ 函数 （s > 0）：

很容易证明：

Γ(s + 1) = s Γ(s)

因此，有：

Γ(n + 1) = n!

可见 Γ 函数 是 阶乘的 连续性 推广，有：

Γ(1) = Γ(0 + 1) = 0!

而：

故，

0! = 1

（回到最初）

基于生活经验，我们知道 从 n 个球中 选取 n 个球 只有一种选取方法：全选，因此 C_n^n = 1，而开始 组合数定义 得到 C_n^n = 1/0!，于是 1 = 1/0! 这推出：

0! = 1

对 f(x) = x 在 x = 1 附近进行幂级数展开：

f(x) = f(1)/0! + f'(1)(x-1)/1! + ... = 1/0! + x - 1

于是有：

x = 1/0! + x - 1

这同样推出：

0! = 1

3、0的阶乘为什么是1？

从阶乘的定义出发。从阶乘表达式n！=n×（n-1）!中，知道一个数的阶乘是递推定义的。比如要计算一个任意的整数m的阶乘，我们就把m作为初值，计算m!=m×（m-1）!。同样的，当m=l时，m！=1!=1×0!=1，取等式中最后一个等号的两边，即1×0!=1，这个等式两边同时约去1，就得到如下结果：0!=1。阶乘的计算方法是1乘以2乘以3乘以4，一直乘到所要求的数。例如所要求的数是6，则阶乘式是1×2×3×…×6，得到的积是720，720就是6的阶乘。如果所要求的数是n，则阶乘式是1×2×3×…×n，设得到的积是x，x就是n的阶乘。任何大于1的自然数n的阶乘的表示方法是：n！=1×2×3×……×n或n！=n×（n-1）!。扩展资料双阶乘：双阶乘用“m！！”表示。当 m 是自然数时，表示不超过 m 且与 m 有相同奇偶性的所有正整数的乘积。如：当 m 是负奇数时，表示绝对值小于它的绝对值的所有负奇数的绝对值积的倒数。当 m 是负偶数时，m！！不存在。自然数双阶乘比的极限：

4、0！=？零的阶乘等于多少？

0！=1 因为Cn0(从n个数中取0个的取法个数)为0!乘n! 比 n! ,它的取法个数为1. 为了让Cn0可以为1,也就是让0!乘n! 比 n! 为1. 规定0! =1 书上都有,好好看看书吧! (见第二册 下 100页,最下面.)

5、0的阶乘是1，那1的阶乘是多少？

类比，正负1的平方都等于1，当然正负1不是同一个数；任何数和0相承都得0，但任何数不可能都相同。数学的体系建立是存在一系列基础假设的，比如i的平方=-1，比如0/0是无意义的，比如1+1=2，这些都是无法证明的，一旦你开始怀疑这些基础的假设，那整个数学体系也就崩溃了。

6、0的阶乘等于多少?为什么？

0的阶乘为1。

具体如下：

一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0的阶乘为1。简单一点是认为规定的,但它是有道理的,因为阶乘是一个递推定义,n!=n*(n-1)!,那么必然有一个初值需要人为规定.

7、0的阶乘为什么等于1？

阶乘表示全排列，要明确它的本质是排列组合，它表示的是从n个中取出n个的所有的取法总数，现在是0!，即从0个中取0个，自然就只有不取这一种方法了，所以0!=1，不过你不用管这么多，只需要记住数学上规定0!=1就行了