微分方程的通解怎么求(微分方程的通解怎么求？)

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正文

1、微分方程的通解怎么求？

关于一阶微分方程：

齐次方程使用分离变量法，把x,y挪到各自zhi一边，各自求积分

变量代换法（令u=y/x)

非齐次方程，使用公式法，y=e^(-∫p(x)dx)(c+e^(-∫p(x)q(x)dx)

还有一些特殊的，比如伯努利方程

二阶齐次方程，

代换法

令y'=p,则y''=pdp/dy

层层积分法，

二阶非齐次，使用公式法

形如y''+qy'+py=Q(x)

先求齐次方程通解，

先求特征根:r^2+qr+p=0

则齐次方程通解为：

c1e^(r1x)+c2e^(r2x) 有两不等实根

(c1+c2x)1e^(r1x) 有两等实根

e^(r1x)（c1cosr2x+c2sinr2x) 有虚根r1+ir2

再求特解

如果特征根与Q(x)指数有一个相等，则可设特解为xQ(x)

如果特征根与Q(x)指数有2个相等，则可设特解为x^2Q(x)

如果特征根与Q(x)指数有没个相等，则可设特解为Q(x)

通解=特解+齐次方程解

2、微分方程的通解怎么求？

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。扩展资料：(1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C (C是常数)此方程的通解是x-y+xy=C。

3、微分方程的通解怎么求？

求微分方程通解的方法有特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

特征线法：基于特征理论的双曲型偏微分方程的相似求解方法。

分离变量法：将偏微分方程分解为只有一个变量的两个或更多个常微分方程。分离方程中包含每个变量的项，以便将原始方程拆分为仅包含一个自变量的更简单的常微分方程。利用线性叠加原理，将非齐次方程分解为多个齐次或易于求解的方程。

特殊函数法：记忆一些常见的特殊函数求解方程。

4、微分方程的通解怎么求？

先求对应的齐次方程dy/dx=2y/(x+1)的通解dy/y=2dx/(x+1)ln|y|=2ln|x+1|+ln|c|y=c (x+1)²由常数变易法，令y=c(x)(x+1)²则dy/dx=c'(x)(x+1)²+2c(x)(x+1)代入原方程得c'(x)(x+1)²=(x+1)^(5/2)c'(x)=(x+1)^(1/2)c(x)=2/3 (x+1)^(3/2)+C故原方程的通解为y=2/3 (x+1)^(7/2) +C(x+1)²

5、已知微分方程的通解怎么求这个微分方程？

首先，根据通解中取值独立的任意常数的个数，确定微分方程的阶，微分方程中一定会出现未知函数的这一阶导数，这就决定了要求到几阶导数。其次，把最高阶导数求出来，利用低阶导数，消去其中的任意常数，得到微分方程。例如，求以y=C1*e^x+C2*x为通解的微分方程。微分方程是二阶的，y'=C1*e^x+C2，y''=C1*e^x。三个方程联立，C1*e^x=y''，C2=y'-y''，代入第一个方程得到微分方程：y=y''+x(y'-y'')，即(1-x)y''+xy'-y=0。